PERSAMAAN KUADRAT
Persamaan kuadrat adalah persamaan yang melibatkan sebuah variabel, dengan pangkat paling tinggi dari variabelnya adalah dua.
Mencari akar atau penyelesaian persamaan kuadrat dapat dilakukan dengan cara sebagai berikut
1. Pemfaktoran
2. Melengkapi kuadrat sempurna
3. Menggunakan rumus persamaan kuadrat (rumus abc)
1. Mencari akar persamaan kuadrat dngan pemfaktoran
Sebelum kita membahas persamaan kuadrat dengan pemfaktoran, maka ingatlah kembali tentang teorema perkalian, bilangan real , sebagai berikut :
Jika a,b R dan a x b = D maka a = D atau b = 0
Selanjutnya perhatikan kembali bentuk umum dari persamaan kuadrat ax2 + bx + c = D misalkan dan ax + a adalah faktor-faktor dari persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 , maka diperoleh
ax^2 + bx + c = ( ax +a)
a^2 x^2 + abx + ac = a^2x^2 + pax + a ax + pa
a^2 x^2 + a bx + ac = a^2 x^2 + x ( pa + aa ) + pa
sehingga sesuai definisi persamaan kuadrat didapat
1. A^2 = a^2 →a = a
2. Ab = a ( p+ a ) →b=p+a
3. Ac = pa
Jadi persamaan kuadrat ax^2 + bx + c = 0 dapat difaktorkan menjadi ( ax + p ) (ax + a) bila b=p + a dan ac= pa
Jika p,a, , R dan pa = 0 maka p=0 atau a=0
Sifat diatas dapat digunakan setelah bentuk ax^2 + bx + c difaktorkan dan bilangan diruas kanan harus 0 untuk itu, perlu kita ingat kembali bentuk faktorisasi bentuk aljabar.
a. Faktorisasi dengan hukum distributif :
· Ax^2 + abx = ax (x+b) faktor yang sama adalah a dan x
· Px^2- pax = px (x-a ) faktor yang sama adalah p dan x
Persamaan kuadrat adalah persamaan yang melibatkan sebuah variabel, dengan pangkat paling tinggi dari variabelnya adalah dua.
Mencari akar atau penyelesaian persamaan kuadrat dapat dilakukan dengan cara sebagai berikut
1. Pemfaktoran
2. Melengkapi kuadrat sempurna
3. Menggunakan rumus persamaan kuadrat (rumus abc)
1. Mencari akar persamaan kuadrat dngan pemfaktoran
Sebelum kita membahas persamaan kuadrat dengan pemfaktoran, maka ingatlah kembali tentang teorema perkalian, bilangan real , sebagai berikut :
Jika a,b R dan a x b = D maka a = D atau b = 0
Selanjutnya perhatikan kembali bentuk umum dari persamaan kuadrat ax2 + bx + c = D misalkan dan ax + a adalah faktor-faktor dari persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 , maka diperoleh
ax^2 + bx + c = ( ax +a)
a^2 x^2 + abx + ac = a^2x^2 + pax + a ax + pa
a^2 x^2 + a bx + ac = a^2 x^2 + x ( pa + aa ) + pa
sehingga sesuai definisi persamaan kuadrat didapat
1. A^2 = a^2 →a = a
2. Ab = a ( p+ a ) →b=p+a
3. Ac = pa
Jadi persamaan kuadrat ax^2 + bx + c = 0 dapat difaktorkan menjadi ( ax + p ) (ax + a) bila b=p + a dan ac= pa
Jika p,a, , R dan pa = 0 maka p=0 atau a=0
Sifat diatas dapat digunakan setelah bentuk ax^2 + bx + c difaktorkan dan bilangan diruas kanan harus 0 untuk itu, perlu kita ingat kembali bentuk faktorisasi bentuk aljabar.
a. Faktorisasi dengan hukum distributif :
· Ax^2 + abx = ax (x+b) faktor yang sama adalah a dan x
· Px^2- pax = px (x-a ) faktor yang sama adalah p dan x
b. Faktorisasi selisih dua kuadrat
· x^2-y^2 = (x+y)(x-y)
· x^2-y^2 = (x+y)(x-y)
c. faktorisasi bentuk x^2+bx+c
· x^2+bx + c = (x + p)(x+p)
dengan syarat :
c p x a.....merupakan hasil kali dua bilangan
b = p+a.....merupakan hasil jumlah dua bilangan
· x^2+bx + c = (x + p)(x+p)
dengan syarat :
c p x a.....merupakan hasil kali dua bilangan
b = p+a.....merupakan hasil jumlah dua bilangan
d. faktorisasi bentuk ax^2+bx+c dengan 1
ax^2+ bx +c = (ax^2+px+a+tc..... dialjabarkan menjadi empat suku selanjutnya faktorkan lah bentuk ax^2+px+ax+c dengan menggunakan hukum dirtributif
2. menentukan penyelesaian persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat sempurnna
memfaktorkan adalah cara yang mudah untuk menyelesaikan persamaan kuadrat. Tapi beberapa persamaan tidak dapat diselesaikan dengan cara memfaktorkan
untuk mengatasi hal tersebut umumnya digunakan bentuk kuadrat sempurna merupakan hasil proses yang disebut melengkapkan kuadrat.
Beberapa contoh kuadrat seperti dibawah ini
a. (x+4)^2= x^2+8x+10
b. (x+ )^2 = x^2+ x +
c. (2x+5)^2 =4 x^2+ 20x +25
d. ( x+ ) = x^2+ x+
Andai kata kita ingin menyelesaikan persamaan (x+5)^2-16=0 maka kita dapat melakukan dengan cara penarikan akar yaitu :
(x+5)^2-16+0
(x+5)^2=16
X+5 =
X+5 = 4
X+5 = 4 atau x+5 =4
X= -1 atau x= -9
ax^2+ bx +c = (ax^2+px+a+tc..... dialjabarkan menjadi empat suku selanjutnya faktorkan lah bentuk ax^2+px+ax+c dengan menggunakan hukum dirtributif
2. menentukan penyelesaian persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat sempurnna
memfaktorkan adalah cara yang mudah untuk menyelesaikan persamaan kuadrat. Tapi beberapa persamaan tidak dapat diselesaikan dengan cara memfaktorkan
untuk mengatasi hal tersebut umumnya digunakan bentuk kuadrat sempurna merupakan hasil proses yang disebut melengkapkan kuadrat.
Beberapa contoh kuadrat seperti dibawah ini
a. (x+4)^2= x^2+8x+10
b. (x+ )^2 = x^2+ x +
c. (2x+5)^2 =4 x^2+ 20x +25
d. ( x+ ) = x^2+ x+
Andai kata kita ingin menyelesaikan persamaan (x+5)^2-16=0 maka kita dapat melakukan dengan cara penarikan akar yaitu :
(x+5)^2-16+0
(x+5)^2=16
X+5 =
X+5 = 4
X+5 = 4 atau x+5 =4
X= -1 atau x= -9
Penyelesaian ini disebut melengkapkan kuadrat sempurna jika, bentuk umuum persamaan kuadrat ax^2 bx+c = 0 diubah menjadi ( x-a)^2= b^2, dengan a dan b adalah bilangan real maka dengan demikian penyeleseaiannya adalah
(x-a)2 =b2
x-a = 2
x-a=b sehingga diperoleh x= b+a atau x= -b + a sekarang berbagai mana cara mengubahnya ? untuk itu perhatikan uaraian dibawah ini
(x-a)2 =b2
x-a = 2
x-a=b sehingga diperoleh x= b+a atau x= -b + a sekarang berbagai mana cara mengubahnya ? untuk itu perhatikan uaraian dibawah ini
kita mulai dengan kuadratkan (x+p) sehingga diperoleh
(x+p)^2 = x^2+ 2px + p^2
(x+p)^2 = x^2+ 2px + p^2
Lihat koefisien, variabel x , dan konstan ta p^2 hubungan apakah yang ditemukan
P^2= (
Jika konstan p2didapat dari kuadrat setengah koefisien x. Dengan demikian bila kita mempunyai bentuk
X^2 + 2px = c
Kita dapat melengkapkan kuadrat dengan cara menambahnya dengan kuadrat garis tengah koefisien x , yaitu ( 2p )^2 pada kedua ruas.
P^2= (
Jika konstan p2didapat dari kuadrat setengah koefisien x. Dengan demikian bila kita mempunyai bentuk
X^2 + 2px = c
Kita dapat melengkapkan kuadrat dengan cara menambahnya dengan kuadrat garis tengah koefisien x , yaitu ( 2p )^2 pada kedua ruas.