Bilangan Berpangkat Positif, Negatif, dan Nol
Pengertian Perpangkatan
Perpangkatan merupakan perkalian berulang sebuah bilangan dengan bilangan itu sendiri.
Contoh:
22 (dibaca: dua pangkat dua) yang sama artinya dengan 2 x 2
43 (dibaca: empat pangkat tiga) yang sama artinya dengan 4 x 4 x 4
75 (dibaca: tujuh pangkat lima) yang sama artinya dengan 7 x 7 x 7 x 7 x 7
Bilangan Berpangkat Positif
Bilangan berpangkat positif merupakan bilangan yang mempunyai pangkat/ eksponen positif.
Contoh:
32 = 3 x 3 = 9
43 = 4 x 4 x 4 = 64
(-2)2 = (-2) x (-2) = 4
(-5)3 = (-5) x (-5) x (-5) = -125
Bilangan kuadrat sempurna adalah bilangan yang merupakan hasil kali dari suatu bilangan dengan dirinya sendiri.
Sebagai contoh di atas 16 adalah bilangan kuadrat sempurna karena 16 = 4 x 4. Notasi 4 x 4 dapat dituliskan dalam bentuk pangkat. Bentuk pangkat ini menjelaskan pada kita berapa suatu bilangan yang kita sebut sebagai basis atau bilangan pokok digunakan sebagai faktor.
Bilangan yang digunakan sebagai pangkat disebut eksponen atau pangkat.
Pernyataan 4 x 4 dituliskan sebagai 42. Pada notasi, 4 menyatakan bilangan pokok atau basis, dan 2 menyatakan pangkat atau eksponen.
Contoh:
Tuliskan pernyataan berikut dalam bentuk eksponen
a. 2 x 2 x 2 x 2 x 2
Bilangan pokoknya adalah 2 dan faktornya adalah 5.
2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 25.
b. m x m x m x m
Bilangan pokoknya adalah m dan
faktornya adalah 4.
m x m x m x m = m4.
c. 7
Bilangan pokoknya adalah 7 dan
faktornya adalah 1
7 = 71.
d. Tuliskan (2)(2)(2)( – 5)( – 5) dalam bentuk eksponen.
Dengan menggunakan sifat asosiatif kita kelompokkan faktor dengan bilangan pokok yang sama sebagai berikut:
(2)(2)(2)(-5)(-5) = [(2)(2)(2)][(-5)(-5)] = 23(-5)2
Jarak antara bumi dan matahari adalah sekitar108 kilometer.
Tuliskan bilangan ini sebagai pernyataan perkalian dan hitunglah hasilnya.
108 = 10.10.10.10.10.10.10.10 = 100.000.000
Jarak antara bumi dan matahari adalah sekitar 100 juta kilometer.
Bilangan Berpangkat Negatif dan Nol
Tidak semua pangkat bernilai positif. Beberapa pangkat adalah bulat negatif.
Perhatikan pola bilangan berikut untuk menemukan nilai 10-1 dan 10-2. Dengan memperluas pola yang ada, maka hasil yang dapat diperoleh adalah 10-1 = 1/10 dan 10-2 = 1/〖10〗^2 1/100
Pada pola tersebut, apabila kamu kalikan bilangan pokok, pangkatnya naik satu. Sebagai
contoh 103 x 10 = 104. Sedangkan apabila kamu bagi dengan bilangan pokok, pangkatnya turun satu. Sebagai contoh, 10-2 : 10 = 10-3
Untuk setiap a є R dan a ≠ 0 berlaku
Bilangan a^(-n) disebut bilangan berpangkat tak sebenarnya.
Contoh:
(-6)-3 = (-1/6)^3 = (-1/6) x (-1/6) x (-1/6) = -1/216
Tuliskan 10-3 menggunakan pangkat positif. Kemudian tentukan nilainya.
10-3 = 1/〖10〗^3 = 1/1000 = 0,001
Sederhanakan pernyataan
xy-2 = x . y-2 = x. 1/( y^2 ) = x/y^2
Bakteri E.coli memiliki lebar 10-3 milimeter. Jarum pentul memiliki diameter 1 milimeter. Berapa banyak bakteri E.coli yang dapat mengisi diameter jarum tersebut.
Untuk menentukan banyak bakteri, bagilah 1 dengan 10-3 = 1/〖10〗^(-3) = 103 = 1000
Jadi banyak bakteri yang dapat mengisi diameter jarum pentul adalah 1000 bakteri.
Bilangan bulat berpangkat nol
Untuk setiap a є R dan a ≠ 0, maka
Bilangan a0 = disebut bilangan berpangkat tak sebenarnya.
Contoh:
30 = 1
(-10)0 = 1
(-21)-3+3 = (-21)0 = 1
(-6)4-3-1 = (-6)0 = 1
Bilangan Pecahan Berpangkat
Bentuk pangkat dapat ditulis sabagai berikut:
(a/b)^n= a/b x a/b x…x a/b= a^n/b^n
Sebanyak n buah, dengan a ≠ 0, b ≠ 0, dan n > 0
(a/b)^(-n)= b/a x b/a x…x b/a= b^n/a^n
Sebanyak n buah, dengan a ≠ 0, b ≠ 0, dan n n, a ≠ 0
a^m/a^n = 1/a^(n-m) , , dengan m < 0, a ≠ 0
(a x b)m = am x bm
(a/b)^m = a^m/b^m , dengan b ≠ 0
Contoh:
p 2 . p -6 = p 2-6 = p -4 = 1/p^4
(p -3 . q 5)4 = (p -3)4 . (q 5)4 = p -12 . q 20 = q^20/p^12
p^10/p^6 = p10-6 = p4
(p^(-1)/q^3 )^(-5) = (p^(-1) )^(-5)/(q^3 )^(-5) = p^5/q^(-15) = p5q15
(-6p)0 = 1
Bentuk Akar
Rindy mempunyai sehelai saputangan yang berbentuk persegi dengan luas 900 cm persegi. Supaya indah, Rindy akan menambahkan renda di tepi saputangan. Berapa panjang renda yang diperlukan Rindy?
Untuk membantu Rindy, kita harus tahu panjang sisi persegi agar kita dapat menghitung keliling saputangan tersebut.
Misal panjang sisi saputangan adalah n cm maka Rindy harus menentukan n × n = 900. Dalam hal ini n = 30 karena 30 × 30 = 900 atau 302 = 900.
Menentukan n = 30 berarti melakukan penarikan akar dari 900 dan ditulis sebagai √900 = 30.
Dengan demikian Rindy harus menyediakan renda dengan panjang 4 x 30 cm = 120 cm.
Bentuk √900 dibaca “ akar kuadrat dari 900 “.
Simbol √ disebut tanda akar, digunakan untuk menyimbolkan akar pangkat dua.
Contoh:
√(36 ) = 6
– √36 = -6
Bilangan di dalam tanda akar tidak boleh negatif.
Pada persoalan mencari rusuk suatu kubus bila volume diketahui, maka kita akan berhadapan dengan bentuk akar yang lain, yaitu akar pangkat tiga. Misalkan diketahui volume suatu kubus adalah 64 cm3, berapakah panjang rusuk kubus tersebut?
Misal panjang rusuk tersebut adalah p, maka volume kubus adalah
V = p x p x p
= p3
Dengan demikian diperoleh p3 = 64. Bagaimanakah kita memperoleh p? Ingat bahwa 43 = 64 dengan demikian p = 4.
Contoh:
Sederhanakanlah bentuk berikut
√49
Karena 72 = 49, maka √49 = 7
-√64
Karena 82 = 64, maka -√64 = -8
Pengertian Perpangkatan
Perpangkatan merupakan perkalian berulang sebuah bilangan dengan bilangan itu sendiri.
Contoh:
22 (dibaca: dua pangkat dua) yang sama artinya dengan 2 x 2
43 (dibaca: empat pangkat tiga) yang sama artinya dengan 4 x 4 x 4
75 (dibaca: tujuh pangkat lima) yang sama artinya dengan 7 x 7 x 7 x 7 x 7
Bilangan Berpangkat Positif
Bilangan berpangkat positif merupakan bilangan yang mempunyai pangkat/ eksponen positif.
Contoh:
32 = 3 x 3 = 9
43 = 4 x 4 x 4 = 64
(-2)2 = (-2) x (-2) = 4
(-5)3 = (-5) x (-5) x (-5) = -125
Bilangan kuadrat sempurna adalah bilangan yang merupakan hasil kali dari suatu bilangan dengan dirinya sendiri.
Sebagai contoh di atas 16 adalah bilangan kuadrat sempurna karena 16 = 4 x 4. Notasi 4 x 4 dapat dituliskan dalam bentuk pangkat. Bentuk pangkat ini menjelaskan pada kita berapa suatu bilangan yang kita sebut sebagai basis atau bilangan pokok digunakan sebagai faktor.
Bilangan yang digunakan sebagai pangkat disebut eksponen atau pangkat.
Pernyataan 4 x 4 dituliskan sebagai 42. Pada notasi, 4 menyatakan bilangan pokok atau basis, dan 2 menyatakan pangkat atau eksponen.
Contoh:
Tuliskan pernyataan berikut dalam bentuk eksponen
a. 2 x 2 x 2 x 2 x 2
Bilangan pokoknya adalah 2 dan faktornya adalah 5.
2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 25.
b. m x m x m x m
Bilangan pokoknya adalah m dan
faktornya adalah 4.
m x m x m x m = m4.
c. 7
Bilangan pokoknya adalah 7 dan
faktornya adalah 1
7 = 71.
d. Tuliskan (2)(2)(2)( – 5)( – 5) dalam bentuk eksponen.
Dengan menggunakan sifat asosiatif kita kelompokkan faktor dengan bilangan pokok yang sama sebagai berikut:
(2)(2)(2)(-5)(-5) = [(2)(2)(2)][(-5)(-5)] = 23(-5)2
Jarak antara bumi dan matahari adalah sekitar108 kilometer.
Tuliskan bilangan ini sebagai pernyataan perkalian dan hitunglah hasilnya.
108 = 10.10.10.10.10.10.10.10 = 100.000.000
Jarak antara bumi dan matahari adalah sekitar 100 juta kilometer.
Bilangan Berpangkat Negatif dan Nol
Tidak semua pangkat bernilai positif. Beberapa pangkat adalah bulat negatif.
Perhatikan pola bilangan berikut untuk menemukan nilai 10-1 dan 10-2. Dengan memperluas pola yang ada, maka hasil yang dapat diperoleh adalah 10-1 = 1/10 dan 10-2 = 1/〖10〗^2 1/100
Pada pola tersebut, apabila kamu kalikan bilangan pokok, pangkatnya naik satu. Sebagai
contoh 103 x 10 = 104. Sedangkan apabila kamu bagi dengan bilangan pokok, pangkatnya turun satu. Sebagai contoh, 10-2 : 10 = 10-3
Untuk setiap a є R dan a ≠ 0 berlaku
Bilangan a^(-n) disebut bilangan berpangkat tak sebenarnya.
Contoh:
(-6)-3 = (-1/6)^3 = (-1/6) x (-1/6) x (-1/6) = -1/216
Tuliskan 10-3 menggunakan pangkat positif. Kemudian tentukan nilainya.
10-3 = 1/〖10〗^3 = 1/1000 = 0,001
Sederhanakan pernyataan
xy-2 = x . y-2 = x. 1/( y^2 ) = x/y^2
Bakteri E.coli memiliki lebar 10-3 milimeter. Jarum pentul memiliki diameter 1 milimeter. Berapa banyak bakteri E.coli yang dapat mengisi diameter jarum tersebut.
Untuk menentukan banyak bakteri, bagilah 1 dengan 10-3 = 1/〖10〗^(-3) = 103 = 1000
Jadi banyak bakteri yang dapat mengisi diameter jarum pentul adalah 1000 bakteri.
Bilangan bulat berpangkat nol
Untuk setiap a є R dan a ≠ 0, maka
Bilangan a0 = disebut bilangan berpangkat tak sebenarnya.
Contoh:
30 = 1
(-10)0 = 1
(-21)-3+3 = (-21)0 = 1
(-6)4-3-1 = (-6)0 = 1
Bilangan Pecahan Berpangkat
Bentuk pangkat dapat ditulis sabagai berikut:
(a/b)^n= a/b x a/b x…x a/b= a^n/b^n
Sebanyak n buah, dengan a ≠ 0, b ≠ 0, dan n > 0
(a/b)^(-n)= b/a x b/a x…x b/a= b^n/a^n
Sebanyak n buah, dengan a ≠ 0, b ≠ 0, dan n n, a ≠ 0
a^m/a^n = 1/a^(n-m) , , dengan m < 0, a ≠ 0
(a x b)m = am x bm
(a/b)^m = a^m/b^m , dengan b ≠ 0
Contoh:
p 2 . p -6 = p 2-6 = p -4 = 1/p^4
(p -3 . q 5)4 = (p -3)4 . (q 5)4 = p -12 . q 20 = q^20/p^12
p^10/p^6 = p10-6 = p4
(p^(-1)/q^3 )^(-5) = (p^(-1) )^(-5)/(q^3 )^(-5) = p^5/q^(-15) = p5q15
(-6p)0 = 1
Bentuk Akar
Rindy mempunyai sehelai saputangan yang berbentuk persegi dengan luas 900 cm persegi. Supaya indah, Rindy akan menambahkan renda di tepi saputangan. Berapa panjang renda yang diperlukan Rindy?
Untuk membantu Rindy, kita harus tahu panjang sisi persegi agar kita dapat menghitung keliling saputangan tersebut.
Misal panjang sisi saputangan adalah n cm maka Rindy harus menentukan n × n = 900. Dalam hal ini n = 30 karena 30 × 30 = 900 atau 302 = 900.
Menentukan n = 30 berarti melakukan penarikan akar dari 900 dan ditulis sebagai √900 = 30.
Dengan demikian Rindy harus menyediakan renda dengan panjang 4 x 30 cm = 120 cm.
Bentuk √900 dibaca “ akar kuadrat dari 900 “.
Simbol √ disebut tanda akar, digunakan untuk menyimbolkan akar pangkat dua.
Contoh:
√(36 ) = 6
– √36 = -6
Bilangan di dalam tanda akar tidak boleh negatif.
Pada persoalan mencari rusuk suatu kubus bila volume diketahui, maka kita akan berhadapan dengan bentuk akar yang lain, yaitu akar pangkat tiga. Misalkan diketahui volume suatu kubus adalah 64 cm3, berapakah panjang rusuk kubus tersebut?
Misal panjang rusuk tersebut adalah p, maka volume kubus adalah
V = p x p x p
= p3
Dengan demikian diperoleh p3 = 64. Bagaimanakah kita memperoleh p? Ingat bahwa 43 = 64 dengan demikian p = 4.
Contoh:
Sederhanakanlah bentuk berikut
√49
Karena 72 = 49, maka √49 = 7
-√64
Karena 82 = 64, maka -√64 = -8